Полезные материалы:
 
Справочник -> Аналитическая геометрия на плоскости -> Прямая

Уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми. Уравнения биссектрис

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ax+By+C=0,

где A, B и C - постоянные коэффициенты (не зависящие от координат). Коэффициенты A и B не должны равняться нулю одновременно, что можно записать условием A^2+B^2<>0.


       При B<>0 общее уравнение прямой можно разрешить относительно y и получить

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b ,

где k=-A{/}B, b=-C{/}B. Это уравнение с угловым коэффициентом, поскольку k=tg alpha, а      alpha - угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс Ox. Величина b равна ординате y точки пересечения прямой с осью Oy (прямой x=0).

       При C<>0 общее уравнение прямой можно разделить на C и получить

Уравнение прямой в отрезках: x/a+y/b=1 ,

где a=-C{/}A, b=-C{/}B. При этом x=a при y=0 и y=b при x=0, т.е. величины a и b это отрезки, которые отсекает прямая на соответственно координатных осях Ox и Oy, считая от начала координат. Полученное уравнение имеет назвние уравнение прямой в отрезках, а величины a и b - отрезки прямой на осях координат.

       Если обе части общего уравнения прямой умножить на нормирующий множитель mu={pm 1}/sqrt {A^2 + B^2} (выбрав знак +, если C<0 и знак -, если C>0).

Тогда получим нормальное уравнение прямой: x cos varphi+y sin varphi-p=0.
Здесь p равна длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а угол varphi при этом есть угол между этим перпендикуляром и положительным направлением оси абсцисс.


       Расстояние от заданной точки до прямой можно найти, используя геометрическую интерпретацию нормального уравнения прямой. А именно, если начало координат переместить в заданную точку P, то искомым расстоянием до прямой будет длина перпендикуляра из нового начала координат до прямой.
Расстояние от точки M(x_0; y_0) до прямой Ax+By+C=0 равно

d=delim{|}{A x_0 +B y_0 +C}{|}/sqrt {A^2 + B^2}


       Острый угол между двумя прямыми, которые заданы уравнения с угловыми коэффициентами y=k_1 x +b_1 и y=k_2 x +b_2 определяется из равенства

tg alpha = delim{|}{{k_2 - k_1}/{1+k_1 k_2}}{|}.

При k_1 k_2 =-1 прямые перпендикулярны, а при k_1 = k_2 прямые параллельны.



       Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящая через заданную точку M(x_0; y_0) имеет вид: y-y_0 =k (x-x_0) .

       Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M_1(x_1; y_1) и M_2(x_2; y_2) имеет вид: {y-y_1}/{y_2-y_1}={x-x_1}/{x_2-x_1} .

Угловой коэффициент этой прямой k={y_2-y_1}/{x_2-x_1}. Если x_1=x_2, то прямая параллельна оси ординат, а ее уравнение x=x_1. Если y_1=y_2, то прямая параллельна оси абсцисс и ее уравнение y=y_1.


       Координаты точки пересечения двух заданных прямых с уравнениями A_1 x + B_1 y + C_1=0 и A_2 x + B_2 y + C_2=0 определяются из решения системы этих уравнений. Решение существует, если дискриминант системы отличен от нуля, или A_1 B_2 -B_1 A_2 <> 0. Это условие также означает, что прямые не параллельны.
       Другая прямая линия, проходящая через точку пересечения двух заданных прямых, описывается уравнением

A_1 x + B_1 y + C_1+lambda (A_2 x + B_2 y + C_2) = 0 ,

где lambda - числовой параметр. Каждому значению lambda соответствует своя прямая. Уравнение называется также уравнением пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых.

Уравнения биссектрис углов между заданными прямыми A_1 x + B_1 y + C_1=0 и A_2 x + B_2 y + C_2=0 имеют вид

{A_1 x + B_1 y +C_1}/sqrt {{A_1}^2 + {B_1}^2}pm{A_2 x + B_2 y +C_2}/sqrt {{A_2}^2 + {B_2}^2}=0.



 




© 2006-2018 Math.com.ua
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100