Справочник -> Тригонометрические функции

443948883

Справочник -> Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — математические функции от угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции.

Функция	Обозначение	Соотношение
Синус	sin
Косинус	cos
Тангенс	$\text{[math]}$ или tan
Котангенс	$\text{[math]}$ или cot
Секанс	sec
Косеканс	или csc

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла α, возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол α. Стороны этого треугольника мы будем называть так:

Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона c.

Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет a — противолежащий по отношению к углу A.

Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет b — прилежащий по отношению к углу A.

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна π. Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между 0 и π/2. Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\text{[math]}$ Это отношение не зависит от выбора треугольника ABC, содержащего угол α, так как все такие треугольники подобны.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\text{[math]}$ Так как $\text{[math]}$ синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $\text{[math]}$

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: $\text{[math]}$ Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: $\text{[math]}$

Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: $\text{[math]}$

Определение тригонометрических функций через окружность

Секансом угла $\text{[math]}$ называется отношение длины отрезка OA к абсциссе точки A. Обозначают $\text{[math]}$ Так как длина отрезка OA равна 1, то $\text{[math]}$ Секанс равен обратному значению косинуса: $\text{[math]}$

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY. Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OA поворачивается на произвольный угол $\text{[math]}$ вокруг центра O.

Синусом угла $\text{[math]}$ называется отношение ординаты точки A к длине отрезка OA. Обозначают $\text{[math]}$ Так как длина отрезка OA равна 1, то

Косинусом угла $\text{[math]}$ называется отношение абсциссы точки A к длине отрезка OA. Обозначают $\text{[math]}$ Так как длина отрезка OA равна 1, то $\text{[math]}$

Тангенсом угла $\text{[math]}$ называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают $\text{[math]}$ (в англоязычной литературе $\text{[math]}$ Так как $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$

Котангенсом угла $\text{[math]}$ называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают $\text{[math]}$ (в англоязычной литературе $\text{[math]}$ Так как $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$ Котангенс равен обратному значению тангенса: $\text{[math]}$

Косекансом угла $\text{[math]}$ называется отношение длины отрезка OA к ординате точки A. Обозначают $\text{[math]}$ (в англоязычной литературе $\text{[math]}$ Так как длина отрезка OA равна 1, то $\text{[math]}$ Косеканс равен обратному значению синуса: $\text{[math]}$

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степеных рядов:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

$\text{[math]}$ где Bn — числа Бернулли.
$\text{[math]}$ где En — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов