443948883 info@math.com.ua
      
      
 
Справочник -> Тригонометрические функции


Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — математические функции от угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.


В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции.


Функция Обозначение Соотношение
Синус sin
Косинус cos
Тангенс или tan
Котангенс или cot
Секанс sec
Косеканс или csc




Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла α, возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол α. Стороны этого треугольника мы будем называть так:

Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона c.

Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет a — противолежащий по отношению к углу A.

Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет b — прилежащий по отношению к углу A.
Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна π. Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между 0 и π/2. Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.
Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: Это отношение не зависит от выбора треугольника ABC, содержащего угол α, так как все такие треугольники подобны.
Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Так как синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.
Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.
Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету:
Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету:

Определение тригонометрических функций через окружность








Секансом угла называется отношение длины отрезка OA к абсциссе точки A. Обозначают Так как длина отрезка OA равна 1, то Секанс равен обратному значению косинуса:

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY. Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OA поворачивается на произвольный угол вокруг центра O.

Синусом угла называется отношение ординаты точки A к длине отрезка OA. Обозначают Так как длина отрезка OA равна 1, то

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки A к длине отрезка OA. Обозначают Так как длина отрезка OA равна 1, то

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то Котангенс равен обратному значению тангенса:

Косекансом угла называется отношение длины отрезка OA к ординате точки A. Обозначают (в англоязычной литературе Так как длина отрезка OA равна 1, то Косеканс равен обратному значению синуса:


Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степеных рядов:



Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где Bn — числа Бернулли.
где En — числа Эйлера.


Значения тригонометрических функций для некоторых углов

0°(0 рад) 30°(π/6) 45°(π/4) 60°(π/3) 90°(π/2) 180°(π) 270°(3π/2)

Значения тригонометрических функций на окружности.
 





© 2006-2014 Math.com.ua Последнее обновление: