Полезные материалы:
 
Справочник -> Теория вероятностей. Случайное событие, его частота и вероятность


Случайное событие, его частота и вероятность

      Случайными событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий.
      Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n.
      Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P*(A) ≤ 1.
      Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах.
      Именно это обстоятельство позволяет при изучении случайных событий применять математические методы, приписывая каждому массовому случайному событию его вероятность, за которую принимается то (вообще говоря заранее неизвестное) число, около которого колеблется наблюдаемая частота события.
      Вероятность случайного события А обозначается через Р(А). Вероятность случайного события, как и его частота, заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
      Достоверному событию (т.е. событию, которое должно произойти при каждом испытании) приписывают вероятность Р(А)=1.
      Невозможному событию (т.е. событие, которое не может произойти ни при одном испытании) приписывают вероятность Р(А)=0.
      В некоторых простейших случаях вероятность случайного события может быть определена заранее. Это можно сделать, например, тогда, когда возможные результаты каждого из однородных испытаний могут быть представлены в виде n единственно возможных, несовместных друг с другом и равновозможных исходов ("случаев") (т.е. кроме этих n исходов не может быть никаких других, никакие два из них не могут произойти одновременно и есть основания считать, что любой из них не является более возможным, чем другие). Если из этих n единственно возможных, несовместных и равновозможных случаев m случаев связаны с наступлением события А (или, как говорят в теории вероятностей, "благоприятствуют" А), то за вероятность события А принимается отношение m к n:
P(A)=m/n.

Задача 1
В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
Решение. Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае А достоверно.

Задача 2
В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Решение. Синий шаров в урне нет, т.е. m=0, a n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие А - невозможное.

Задача 3
В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Решение. Здесь m=4, n=12 и P(A)=4/12=1/3.

Задача 4
В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара - белые?
Решение. Здесь число всех случаев n=C210=(10·9)/(1·2)=45. Число же случаев, благоприятствующих событию А, определяется равенством m=C26 т.е. m=(6·5)/(1·2)=15.
Итак, Р(А)=15/45=1/3.

Задача 5
В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета - выигрыш по 50 руб., на десять билетов - выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов - выигрыш по 10 руб., на 165 билетов - выигрыш по 5 руб., на 400 билетов - выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не меньше 10 руб.?
Решение. Здесь m=1+4+10+20=35, n=2000, т.е. Р(А)=m/n=35/2000=0,0175.



 




© 2006-2018 Math.com.ua
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100