443948883 info@math.com.ua
      
      
 
Справочник -> Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Признаки сходимости числовых рядов

 

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд  сходится, то .

 

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например,  расходится, так как . Из выполнения условия   в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда  (гармонический ряд), условие  выполнено, но данный ряд расходится.

 

 

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

                                                                                                                             

Признаки сравнения

Если , и  ряд  сходится, то сходится и  ряд .

Если , и  ряд  расходится, то расходится и  ряд .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:

Если заданы ряды ,  и существует   , то ряды  и  сходятся либо расходятся одновременно.

 

Пример:

1. Исследуем сходимость ряда . Очевидно, что . Так как гармонический ряд  расходится, то и ряд  также расходящийся, и, согласно признаку сравнения, данный ряд  расходится.

2. Исследовать сходимость ряда . Имеем: . Ряд  сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, согласно признаку сравнения ряд  сходится.

 

Признак Д’Аламбера

Если существует  то:

-       при  ряд  сходится;

-       при  ряд  расходится.

 

Радикальный признак Коши

 

Если существует  то:

-       при  ряд  сходится;

-       при  ряд  расходится.

 

Интегральный признак Коши

 

Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции  на промежутке . Тогда ряд  сходится, если сходится несобственный интеграл . Если же  расходится, то ряд  также будет расходящимся.

 

 

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

 

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов)

Ряд  сходится, если:

-       ;

-       .

 

Знакопеременный ряд  называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Если ряд  сходится, а ряд  расходится, то ряд  называют сходящимся условно.

 

Очевидно, что если ряд  сходится, то ряд  также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.



 





© 2006-2014 Math.com.ua Последнее обновление: