Полезные материалы:
 
Справочник -> Аналитическая геометрия на плоскости -> Прямоугольные и полярные координаты

Прямоугольные и полярные координаты.
Середина отрезка, расстояние между точками, площадь треугольника.


       Положение точек на плоскости или в пространстве определяется с помощью системы координат . В системе координат задаются правила однозначного сопоставления положения точки и некоторой совокупности чисел, которые называются координатами. Наиболее простой и часто используемой является прямоугольная система координат.

       В прямоугольной системе координаты точки - это расстояния от точки до взаимно перпендикулярных координатных осей. Координатные оси в прямоугольной системе - это фиксированные прямые линии, которые пересекаются под прямым углом в некоторой точке, которая называется началом координат. На плоскости таким образом можно задать две координатные оси.

       Точки на плоскости обозначаются обычно большой буквой с указанием координат. Например, точка A с координатами (x; y) обозначается A (x; y). Начало координат часто обозначается буквой O. Координаты этой точки - (0; 0), поскольку расстояния от нее до координатных осей нулевые. Прямоугольную систему координат на плоскости обозначают часто xOy. Координату x называют абсциссой, координату y - ординатой. Координатные оси обозначают Ox и Oy.

       Если рассматриваются только точки, лежащие на одной прямой, то эту прямую можно считать координатной осью и рассматривать только одну координату, поскольку остальные равны нулю. Для определенности кооодинаты точек на одной прямой можно называть абсциссами, а прямую считать координатной осью абсцисс Ox. Точки на одной прямой при этом можно обозначать с указанием одной координаты, например, A (x). Расстояние между двумя точками A_1 (x_1) и A_2 (x_2) на прямой равно delim{|}{x_2 - x_1}{|}=delim{|}{x_1 - x_2}{|}. Его можно обозначить delim{|}{A_1 A_2}{|}.

       Точки A_1 (x_1) и A_2 (x_2) на прямой определяют концы отрезка. Если x_1<=x_2, то это отрезок delim{[}{A_1 A_2}{]}. Некоторая третья точка A (x) лежит на отрезке delim{[}{A_1 A_2}{]}, если x_1<=x<=x_2 . Если эта точка не совпадает с концами отрезка, то она делит отрезок в отношении
lambda= delim{|}{A_1 A}{|}/delim{|}{A A_2}{|}={x - x_1}/{x_2 - x} . При этом 0<lambda<1 .
        Из предыдущей формулы следует, что координата точки x , делящей отрезок delim{[}{A_1 A_2}{]} в заданном отношении lambda есть x={x_1 + lambda x_2}/{1 + lambda} .
        Середина отрезка находится при lambda=1 и ее координата x={x_1 + x_2}/2 .

        Если на плоскости задана прямоугольная система координат xOy , то расстояние между любыми двумя точками A_1 (x_1 ; y_1) и A_2 (x_2 ; y_2) определяется по теореме Пифагора:

r=sqrt{(x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2} .

Отсюда, расстояние от произвольной точки A (x ; y) до начала координат O (0 ; 0) равно

r=sqrt{x^2 + y^2} .

        Координаты точки A (x ; y), которая делит отрезок прямой с концами A_1 (x_1 ; y_1) и A_2 (x_2 ; y_2) в заданном отношении lambda, есть

x={x_1 + lambda x_2}/{1 + lambda} , y={y_1 + lambda y_2}/{1 + lambda}.

Координаты середины отрезка (при lambda=1) есть

x={x_1 + x_2}/2 , y={y_1 + y_2}/2.


        Площадь треугольника с вершинами в точках A_1 (x_1 ; y_1), A_2 (x_2 ; y_2) и A_3 (x_3 ; y_3) равна
S={1/2}delim{|}{x_1 (y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1-y_2)}{|}=
{=}{1/2}delim{|}{(x_2 - x_1) (y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)}{|}.

       В полярной системе координат фиксируются точка O, являющаяся началом координат, и координатная ось Ox - прямая, проходящая через это начало. Положение произвольной точки A определяется длиной радиус-вектора rho=delim{|}{OA}{|}, проведенного из начала координат в эту точку, и углом varphi между координатной осью Ox и отрезком delim{[}{OA}{]}. Угол считается положительным при отсчете против часовой стрелки.

        Начало координат O называется полюсом, координатная ось Ox называется полярной осью, радиус-вектор rho=delim{|}{OA}{|} называется полярным радиус-вектором точки A, а угол varphi - полярным углом.

        В полярной системе координат произвольную точку A можно обозначить как A(rho,varphi), где rho>=0, 0<=varphi<=2 pi. Эту же точку определяют бесконечное множество полярных координат (rho,varphi+2 pi k) и ({-}rho,varphi + pi (2k+1)), k=0,pm 1,pm 2,{...} .

        Связь полярных координат с прямоугольными при условии, что у них общее начало и общая ось Ox :
x=rho cos varphi, y=rho sin varphi,
rho=sqrt{x^2 + y^2}, tan varphi=y/x .

        Уравнение линии на плоскости - это равенство, которое связывает координаты (x; y) множества точек A(x; y) на этой линии. Уравнение становится тождеством при подстановке в него координат любой точки, лежащей на этой линии.

        Уравнение линии на плоскости обычно имеет вид f(x, y)=0.

        Параметрические уравнения линии есть представления координат x и y через вспомогательный параметр t: x=u(t), y=v(t). Исключением параметра t из этих уравнений можно получить обычное уравнение f(x, y)=0.


 




© 2006-2018 Math.com.ua
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100