Полезные материалы:
 
Справочник -> Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно малых. Таблица эквивалентных

        Пусть alpha(x) и beta(x) — бесконечно малые при x right a.
1. Если lim{x right a}{alpha/beta}=0, то говорят, что alpha является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с beta. В этом случае пишут alpha=o(beta).
2. Если lim{x right a}{alpha/beta}=m, где m—число, отличное от нуля, то говорят, что alpha и betaбесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если lim{x right a}{alpha/beta}=1, то бесконечно малые alpha и beta называются эквивалентными. Запись alpha~beta означает, что alpha и beta—эквивалентные бесконечно малые.
         Если {alpha/beta}right infty, то это означает, что lim{x right a}{beta/alpha}=0. Таким образом, beta является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с alpha, т. е. beta=o(alpha)
3. Если alpha^k и beta—бесконечно малые одного и того же порядка, причем k>0, то говорят, что бесконечно малая beta имеет порядок k по сравнению с alpha.
Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин:
1o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если gamma=alpha beta, то gamma=0(alpha) и gamma=0(beta).
2o. Бесконечно малые alpha и beta эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность alpha-beta=gamma является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с alpha и beta, т. е. если gamma=0(alpha), gamma=0(beta).
3o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если
lim{x right a}{alpha/beta}=m, alpha~alpha_1, beta~beta_1, то lim{x right a}{alpha_1/beta_1}=m.

        Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин:
если x right 0, то
sin x~x         tg x~x          arcsin x~x         arctg x~x

ln(1+x)~x         1-cos x ~ x^2/2         a^x - 1 ~ x ln a~ (a>0, a<>1 )


 




© 2006-2018 Math.com.ua
bigmir)net TOP 100 Rambler's Top100