ДУ с разделяющимися переменными (ПОМОГИТЕ)

Добавлено: Вт Май 12, 2009 7:46 pm

(x*-2y)dx+(-x)dy=0

*- это квадрат

Добавлено: Пн Янв 04, 2010 7:50 am

Сначала делаем замену, затем упрощаем и разделяем переменные:

$\begin{gathered}\left(x^2-2y\right)dx +(-x)dy=0 \Leftrightarrow x^2-2y-xy'=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}y=x^2p,\hfill \\y' = 2xp + x^2p' \hfill \\\end{gathered}\right\} \Leftrightarrow \hfill \\\Leftrightarrow x^2-2x^2p-x\left(2xp+x^2p'\right)= 0 \Leftrightarrow x^2-4x^2p-x^3p'=0 \Leftrightarrow \hfill \\\Leftrightarrow 1-4p-xp'=0 \Leftrightarrow x\frac{dp}{dx} = 1-4p \Leftrightarrow \int\frac{dp}{1-4p}=\int\frac{dx}{x} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{4}\ln|1-4p|=\ln|Cx|\Leftrightarrow 1-4p=\frac{1}{C^4x^4} \Leftrightarrow p=\frac{1}{4}-\frac{1}{4C^4 x^4} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{y}{x^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4C^4x^4} \Leftrightarrow y =\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4C^4 x^2} \Leftrightarrow \left\{C_1=-\frac{1}{4C^4}\right\} \Leftrightarrow \boxed{y =\frac{x^2}{4}+\frac{C_1}{x^2}} \hfill \\ \end{gathered}$