Помощь в математике
 FAQ  •  Поиск  •  Пользователи  •  Группы   •  Регистрация  •  Профиль  •  Войти и проверить личные сообщения  •  Вход
 Проинтегрировать уравнение: Следующая тема
Предыдущая тема
Начать новую темуОтветить на тему
Автор Сообщение
Nat111



Зарегистрирован: 25.02.2009
Сообщения: 77

СообщениеДобавлено: Ср Фев 25, 2009 5:49 pm Ответить с цитатойВернуться к началу

Здравствуйте! Вот нужно проинтегрировать уравнение. Подскажите как. (а то я уже года три их не решала), все книги облазила, так и не вспомнила. Заранее огромное спасибо.

пример:
y''-3y'+2y=sinx

нужно сделать замену? но как? Sad
Rolling Eyes
Посмотреть профильОтправить личное сообщение

Alexander
Site Admin


Зарегистрирован: 04.11.2006
Сообщения: 542
Откуда: Киев

СообщениеДобавлено: Чт Фев 26, 2009 9:45 pm Ответить с цитатойВернуться к началу

Имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, его общее решение равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y''-3y'+2y=0
характеристическое уравнение λ^2-3λ+2=0 имеет корни λ1=2 и λ2=1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнение будет y=с1*e^(2x)+c2*e^x.
Частное решение ищем в виде y=Acos(x)+Bsin(x), подставляем его в исходное уравнение и находим неизвестные константы А и В.
Посмотреть профильОтправить личное сообщениеОтправить e-mail
Nat111



Зарегистрирован: 25.02.2009
Сообщения: 77

СообщениеДобавлено: Сб Фев 28, 2009 10:41 am Ответить с цитатойВернуться к началу

Alexander спасибо за подробное объяснение как проинтгрировать уравнение.

Я дорешала у меня получилось вот так:
y*=Acos(x)+Bsin(x)
(y*)'=-Asin(x)+Bcos(x)
(y*)''=-Acos(x)-Bsin(x)
Подставляем в исходное уравнение:
-Acos(x)-Bsin(x)-3(-Asin(x)+Bcos(x))+2(Acos(x)+Bsin(x))=
=-Acos(x)-Bsin(x)+3Asin(x)-3Bsin(x)+2Acos(x)+2Bsin(x)
Отсюда следует,
Система из двух уравнений: -A+2A=0 и -B+3A-3B+2B=0
Система из двух уравнений: A=0 и -2B+3A=0

Из системы получим, что А=0 =>
-2B+3A=0
-2B+3*0=0
-2B=0
-B=2 (умножим на (-1))
получим
B=-2

Откуда следует, частное решение получилось такое:
y*=-2sin(x)

Общее решение получилось:
y=c1e^(2x)+c2e^x-2sin(x)


правильно решила? Smile
Посмотреть профильОтправить личное сообщение
Alexander
Site Admin


Зарегистрирован: 04.11.2006
Сообщения: 542
Откуда: Киев

СообщениеДобавлено: Сб Фев 28, 2009 12:19 pm Ответить с цитатойВернуться к началу

Нет Wink
Вы подставили в однородное уравнение, а нужно в исходное. Получим
-Acos(x)-Bsin(x)+3Asin(x)-3Bsin(x)+2Acos(x)+2Bsin(x)=sin(x)
-A+2A=0, A=0
-B+3A-3B+2B=1
-2B=1, B=-1/2
Посмотреть профильОтправить личное сообщениеОтправить e-mail
Nat111



Зарегистрирован: 25.02.2009
Сообщения: 77

СообщениеДобавлено: Сб Фев 28, 2009 3:46 pm Ответить с цитатойВернуться к началу

Embarassed

значит получается

частное решение получилось такое:
y*=-(1/2)sin(x)

Общее решение получилось:
y=c1e^(2x)+c2e^x-(1/2)sin(x)


верно? Razz
Посмотреть профильОтправить личное сообщение
Alexander
Site Admin


Зарегистрирован: 04.11.2006
Сообщения: 542
Откуда: Киев

СообщениеДобавлено: Сб Фев 28, 2009 3:54 pm Ответить с цитатойВернуться к началу

да, всё так Smile
Посмотреть профильОтправить личное сообщениеОтправить e-mail
Nat111



Зарегистрирован: 25.02.2009
Сообщения: 77

СообщениеДобавлено: Сб Фев 28, 2009 3:57 pm Ответить с цитатойВернуться к началу

Alexander СПАСИБО ОГРОМНОЕ!!! Very Happy
Посмотреть профильОтправить личное сообщение
Показать сообщения:      
Начать новую темуОтветить на тему


 Перейти:   



Следующая тема
Предыдущая тема
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах


Часовой пояс: GMT + 2
Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group