Решить дифуравнение

Добавлено: Вс Июн 13, 2010 3:56 pm

Помогите решить дифференциальное уравнение: y''+(y')^2=2*(e^-y)

Я решал так:

Уравнение не содержит независимой переменной Х. Вводим замену:
y'=P(y)=>y''=p*p'

p*p'+p^2=2/e^y

П в квадрате мешается....

P.S. Может быть опечатка.....? И должно быть y''+(y')^2=2*(e^-x)? У уже мозг кипит....

Добавлено: Вс Июн 13, 2010 5:16 pm

Замена верна. Насчет "мешающего" $p^{2}$ - просто разделите обе части уравнения на р. Вы получите уравнение Бернулли, которое проще всего решать заменой p=u*v.

Добавлено: Вс Июн 13, 2010 5:17 pm

Wolfling писал(а):

Замена верна. Насчет "мешающего" $p^{2}$ - просто разделите обе части уравнения на р. Вы получите уравнение Бернулли, которое проще всего решать заменой p=u*v.

Спасибо.

Добавлено: Вт Июл 20, 2010 9:46 pm

dex писал(а):

Помогите решить дифференциальное уравнение: y''+(y')^2=2*(e^-y)

Я решал так:

Уравнение не содержит независимой переменной Х. Вводим замену:
y'=P(y)=>y''=p*p'

p*p'+p^2=2/e^y

П в квадрате мешается....

P.S. Может быть опечатка.....? И должно быть y''+(y')^2=2*(e^-x)? У уже мозг кипит....

Мне кажется, ваше уравнения проще решить без подстановки: умножьте обе части уравнения на $e^y$ ,
тогда получите $\left\(e^yy'\right)'=2$ .

Теперь проинтегрируйте, разделите переменные и ещё раз проинтегрируйте;
ответ должен быть такой: $y=\ln(x^2+C_1x+C_2)$