Как найти кратчайший отрезок между двумя прямыми?

Добавлено: Сб Ноя 10, 2007 2:18 am

Здравствуйте форумчани. Есть задача.
Известно две прямые, которые не параллельны и не пересекаются.

Одна прямая
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0

и
Вторая прямая
I1x+F1y+G1z+H1=0
I2x+F2y+G2z+H2=0

Как найти кратчайший отрезок между двумя прямыми? Это вообще возможно?

Добавлено: Сб Ноя 10, 2007 5:30 pm

Перейдем к каноническим уравнениям прямых:
(x-x1)/l1=(y-y1)/m1=(z-z1)/n1

где
l1=det(B1 C1
B2 C2)

m1=det(C1 A1
C2 A2)

n1=det(A1 B1
A2 B2)

(координаты точки M(x1,y1,z1) найдете из исходной системы уравнений)

Тогда кратчайшее расстояние d между двумя прямыми может быть вычислено по формуле

d = A/B

где А=+-det(x1-x2 y1-y2 z1-z2
l1 m1 n1
l2 m2 n2)

B=sqrt( (l1*m2-m1*l2)^2 + (m1*n2-n1*m2)^2 + (n1*l2-l1*n2)^2 )

Добавлено: Сб Ноя 10, 2007 6:32 pm

Спасибо Alexander

Школу и институт я закончил достаточно давно. Не могли бы вы подробно расписать

(координаты точки M(x1,y1,z1) найдете из исходной системы уравнений)

Добавлено: Сб Ноя 10, 2007 6:53 pm

У вас есть система:
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
Точка М должна принадлежать первой и второй плоскости, тогда она будет лежать на прямой, которую задают эти плоскости. Выбираем произвольно например z=0, тогда решая систему:
A1x+B1y+D1=0
A2x+B2y+D2=0
находим x1,y1. Это и будут координаты М.

Добавлено: Сб Ноя 10, 2007 10:49 pm

Возможно я не правильно сформулировал правильно условия задачи.

Вот правильное условие, и вопрос к задачи.

Дано две прямые не параллельные и не пересекающиеся:
A1x+B1y+C1z+D1 =0
A2x+B2y+C2z+D2 =0
Найти уравнение третьей прямой, которая пересекает две первые и расстояние между точками пересечения минимальное. Или найти координаты этих точек.

Добавлено: Пн Ноя 12, 2007 3:52 pm

Вы не можете задать прямую в пространстве используя уравнение вида Ax+By+Cz+D =0.Это уравнение плоскости.А прямую в пространстве мы задаем используя систему из двух таких уравнений,тоесть прямая-это результат пересечения двух плоскостей,заданных соответствующими уравнениями...Тоесть системой из этих уравнений
A1x+B1y+C1z+D1 =0
A2x+B2y+C2z+D2 =0
вы можете задать только одну прямую в пространстве.
Вероятно,надо полагать,что правильная всетаки перваяформулировка,где у вас заданы 2 прямые:

A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0

и

I1x+F1y+G1z+H1=0
I2x+F2y+G2z+H2=0
Тогда ваша третья прямая,которая пересекает первые две должна быть перпендикулярна к ним,чтоб расстояние между точками пересечения было минимальным.
Существует готовая формула общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым (тем,что не пересекаются и не паралельны).

Преобразовываем запись прямых из общего вида (так как они сейчас записаны) в канонический.Александр выше писал об этом.

тогда
первая прямая:
(x-x1)/l1=(y-y1)/m1=(z-z1)/n1

вторая прямая:
(x-x2)/l1=(y-y2)/m2=(z-z2)/n2

Тогда уравнение искомой прямой запишется в виде системы из двух уравнений:

(Точки в определителе поставленны просто для того,чтоб текст не смещался при публикации сообщения в форуме,там должны быть пробелы )

ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ:
определитель третьего порядка равен нулю:

|..x-x1.....y-y1.....z-z1...|
|....l1.........m1.......n1....|
||m1 n1| |n1 l1| |l1 m1|| =0
||m2 n2| |n2 l2| |l2 m2||

третья строчка - определители второго порядка.

ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ:
тоже определитьль третьего порядка равен нулю:

|..x-x2.....y-y2.....z-z2...|
|....l2.........m2.......n2....|
||m1 n1| |n1 l1| |l1 m1|| =0
||m2 n2| |n2 l2| |l2 m2||

Это ответ на ваше задание.Главное записать уравнения прямых в каноническом виде,а потом система из двух ваших определителей этих страшный....[img][/img]

Добавлено: Пн Ноя 12, 2007 5:30 pm

Спасибо большое Мария Smile

Вы не могли бы ещё чуть чуть растолковать.

1) Допустим искомая линия имеет вид

J1x + N1y + K1z + G1 =0
J2x + N2y + K2z + G2 =0

Тогда чему ровны J1,N1,K1,G1,J2,N2,K2,G2

2) Одним из условий задачи было найти координаты точек образующих отрезок между двумя прямыми М1(х1, y1, z1) М2(х2, y2, z2). Тогда чему равны х1, y1, z1, х2, y2, z2.

Добавлено: Вт Ноя 13, 2007 2:19 am

Ну допустим не линия,а прямая Wink

Теперь,что значит чему равны J1,N1,K1,G1,J2,N2,K2,G2 ??? Это должно быть дано в задании!
Тоесть,ваша прямая должна задаваться например так:
система:
2x+3y-7z+8=0
5x-3y+9z-13=0
Тоесть,если вам даны уравнения чисто с буквами-это просто чисто теоретически,и верно решение писать стоит тоже чисто теоретически...Через буквы.

Если вам надо теперь найти точки М1 и М2 концов отрезка (в смысле этого перпендикуляра),то точка М1(x1,y1,z1) это точка пересечения вашего перпендикуляра и первой прямой,тоесть система,куда входит ВСЯ система,которую мы писали для уравнения перпендикуляра общего (вашей искомой третьей прямой) и в эту вот систему добавляются еще два уравнения,которыми описывается ваша прямая:
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0

И для М2(x2,y2,z2) тоже самое,только добавляете уравнения
I1x+F1y+G1z+H1=0
I2x+F2y+G2z+H2=0

Вот такие вот ужасные системы получите...

Добавлено: Вт Ноя 13, 2007 1:09 pm

Мария

Большое спасибо вы меня очень выручили. Я занимаюсь 3Д графикой. Если вам нужна будет помощь в 3Д, свяжитесь со мной z0w{песик}bk.ru